Logika Matematika

Posted: Januari 13, 2010 in Berita

DOSEN : Nuke L Chusna, dra

Bab. 1 Pengenalan Logika Matematika

1.1 PENDAHULUAN

Logika berasal dari bahasa Yunani “logos”. Dalam bhs. Inggris berarti “word”, “speech” atau “what is spoken”

Definisi Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang valid

Logika disebut juga sebagai logika simbol (symbolic logic), karena mempelajari usaha-usaha menyimbolisasikan logika secara formal.

Secara umum berhubungan dengan penalaran deduktif yang hanya secara umum mengambil kesimpulan dari premis-premisnya. Sedang penalaran induktif yaitu tentang pengambilan kesimpulan kesimpulan umum yang diperoleh dari suatu penelitian atau observasi.

1.2 ARGUMEN

Argumen adalah mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan, dengan berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis

Argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan

Contoh :

1. semua mahasiswa pandai

Badu adalah mahasiswa

dengan demikian, badu pandai

2. semua manusia bermata empat

Badu seorang manusia

dengan demikian, badu bermata empat

1.3 VALIDITAS ARGUMEN

Validitas argumen adalah premis-premis yang diikuti oleh suatu kesimpulan yang berasal dari premis-premisnyai dan bernilai benar

Jika salah satu atau lebih premis-premisnya salah, maka kesimpulan dari argumen tersebut juga salah

Tidak mungkin kesimpulan yang salah dari premis-premis yang benar, atau premis-premis yang benar tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah.

Contoh :

1. semua mamalia adalah hewan berkaki 4

semua manusia adalah mamalia

dengan demikian, semua manusia adalah binatang berkaki empat

Ini adalah argumen yang valid, tetapi premis yang

pertama bernilai salah. Argumen diatas tetap valid

karena kesimpulannya tetap mengikuti premis –

premisnya. Ini disebut dengan Tautologi (tautology)

atau valid kebenarannya secara fungsional.

Contoh :

2. ada jenis mahkluk hidup berkaki dua

semua manusia adalah mahkluk hidup

dengan demikian, semua manusia berkaki dua

Argumen diatas tidak valid, tapi menghasilkan kesimpulan yang benar meskipun tidak mengikuti premis-premisnya

Jadi logika hanya mempermasalahkan bentuk dari argumen bukan isi argumen.

Jika argumen valid, maka pokok pernyataan dapat digantikan untuk semua yang bisa digantikannya dan validitas tidak terganggu. Akan tetapi, jika argumen tidak valid, maka akan menganggu.

1.4 LOGIKA KLASIK

Dalam logika klasik/logika tradisional dikenal

dengan aturan-aturan untuk penalaran

silogistik/syllogistic yang benar, yaitu suatu

argumen yang terbentuk dari pernyataan

pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk

berikut ini :

1. semua A adalah B (universal affirmative)

2. tidak A adalah B (universal negative)

3. beberapa A adalah B (particular affirmative)

4. beberapa A adalah tidak B (particular negative)

dimana A dan B menyatakan suatu kata benda,

misalnya manusia, hewan, berkaki dua dlsbnya yang

disebut dengan terms of syllogism

Silogisme yang sempurna disebut well-formed

syllogism jika memiliki duah buah premis dan satu

kesimpulan, dimana setiap premis memiliki satu

pokok (term) bersama dengan kesimpulan dan satu

lagi pokok bersama dengan premis lainnya.

Dalam logika klasik aturan-aturan telah dirumuskan

agar suatu well-formed syllogism dapat dipastikan

merupakan suatu bentuk argumen yang valid atau

tidak valid.

1.5 LOGIKA MODERN/LOGIKA SIMBOLIK

Dalam logika modern mengenalkan simbol-simbol

untuk kalimat-kalimat yang lengkap dan

perangkainya yang akan merangkaikan kalimat,

seperti and, or, if…then, …if and only if…dlsbnya.

Logika klasik dan logika modern, termasuk logika deduktif, dimana premis-premis dari suatu argumen yang vaid harus memiliki kesimpulan, atau kebenaran suatu kesimpulan harus mengikuti premis-premisnya.

Dalam logika modern hanya mengenal satu nilai dari dua nilai kebenaran yaitu benar (true) atau salah (false). Dan didalam aljabar boole nilai benar diganti dengan angka 1 sedang nilai salah diganti dengan angka 0, dan ini disebut dengan logika dua nilai (two-valued-logic/bivalent)

Bab.2 Pengantar Logika Matematika

2.1 Proposisi

Definisi : Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran (truth value).

Contoh 1 :

6 adalah bilangan genap

Soekarno adalah Presiden Indonesia pertama

Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang

12 ≥ 19

Kemarin hari hujan

Kehidupan hanya ada di planet bumi

Contoh 2 :

Jam berapa kereta api Argo Bromo datang?

x + 3 = 8

x > 3

Dari contoh 1 dan contoh 2 kita lihat bahwa

proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita,

bukan kalimat tanya atau kalimat yang lainnya.

Sedang kalimat 2 dan 3 pada contoh 2 bukan

proposisi karena kedua kalimat tsb tidak dapat

ditentukan benar atau salah sebab kedua kalimat tsb

mengandung peubah (variabel) yang tidak

dispesifikasikan nilainya.

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan

dengan huruf kecil seperti p, q, r, ….

Misalnya,

p : 6 adalah bilangan genap

Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6

adalah bilangan genap”.

2.2 Penghubung Kalimat

Beberapa kalimat perlu digabung menjadi satu

kalimat yang lebih panjang. Misalnya, “4 adalah

bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil”,

merupakan gabungan dari 2 buah kalimat “4 adalah

bilangan genap” dan kalimat “3 adalah bilangan

ganjil”.

Dalam logika, dikenal 5 buah penghubung :

Dalam matematika digunakan huruf-huruf kecil

seperti p, q, r, s, …. untuk menyatakan sub. kalimat

dan simbol-simbol penghubung untuk menyatakan

penghubung kalimat.

Contoh :

1. p : 4 adalah bilangan genap

q : 3 adalah bilangan ganjil

maka kalimat “4 adalah bil genap dan 3 adalah bil ganjil” dapat dinyatakan dengan p Λ q

2. misal :

p : hari ini panas

q : hari ini cerah

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika/ekspresi logika :

a. hari ini tidak panas tetapi cerah

b. hari ini tidak panas dan tidak cerah

c. tidak benar bahwa hari ini panas dan cerah

jawab :

a. ~ p Λ q

b. ~ p Λ ~ q

c. kalimat “hari ini panas dan cerah” dapat dinyatakan dengan p Λ q, sehingga kalimat (c) dapat dinyatakan dengan ~ (p Λ q)

Pada keseharian kata-kata penghubung banyak

digunakan tetapi dengan arti yang berbeda-beda,

tergantung dari konteks pembicaraan, misalnya :

Apabila saya lulus, maka ayah akan membelikan sepeda motor

Apabila kamu tidak belajar, maka kamu tidak akan lulus

Jika 2 + 2 = 4, maka bunga melati berwarna putih

Semua kalimat diatas mempunyai bentuk

bila….maka…., tetapi mempunyai konotasi yang

berbeda. Implikasi pada kalimat (a) merupakan

suatu janji, pada kalimat (b) merupakan sebab

akibat, sedang kalimat (c) tidak mempunyai arti (tidak

ada hubungan antara dua kalimat penyusunnya)

Untuk menghindari perbedaan konotasi, maka

digunakan tabel kebenaran. Karena dalam logika,

penekanan lebih ditujukan pada bentuk/susunan

kalimat saja (sintaks), dan bukan pada arti kalimat

penyusunnya (semantik).

Jika p dan q merupakan kalimat-kalimat, maka tabel kebenarannya adalah :

Jika ada n variabel (p, q, … ), maka tabel kebenarannya memuat 2n baris.

Keterangan dari Tabel Kebenaran :

Negasi suatu kalimat akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya.

Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah

Jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar

Kalimat p dan q, akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satu bernilai salah, apalagi keduanya bernilai salah maka p dan q bernilai salah

Kalimat p atau q, akan bernilai salah, jika baik p maupun q bernilai salah. Jika salah satunya bernilai benar, maka p atau q bernilai benar

Kalimat implikasi p → q , akan bernilai salah kalau p benar dan q salah

Kalimat bi-implikasi p ↔ q, akan bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

Tinggalkan Jawapan

Masukkan butiran anda dibawah atau klik ikon untuk log masuk akaun:

WordPress.com Logo

Anda sedang menulis komen melalui akaun WordPress.com anda. Log Out / Tukar )

Twitter picture

Anda sedang menulis komen melalui akaun Twitter anda. Log Out / Tukar )

Facebook photo

Anda sedang menulis komen melalui akaun Facebook anda. Log Out / Tukar )

Google+ photo

Anda sedang menulis komen melalui akaun Google+ anda. Log Out / Tukar )

Connecting to %s