Tabel Kebenaran

Posted: Januari 13, 2010 in Logika Matematika

Keterangan tambahan dari tabel kebenaran

Definisi 1 : sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

- proposisi majemuk adalah dimana proposisi diperoleh dari pengkombinasian

- proposisi atomik adalah dimana bukan merupakan kombinasi dari proposisi lainnya

Definisi 2 : dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Ditulis dengan bentuk p ≡ q. Jika p ≡ q maka q ≡ p juga.

Definisi 3 : sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus

- yang dimaksud dengan “semua kasus” adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya

- proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat nilai T (true)

- proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat nilai F (false)

LATIHAN SOAL-SOAL :

Buatlah tabel kebenaran dari :

~ ( ~ p v ~ q )

( p → q ) Λ ~ ( p v q)

( ~ p Λ ( ~ q Λ r )) v ( q Λ r ) v ( p Λ r)

Jika p dan q bernilai benar (T)

r dan s bernilai salah (F)

tentukan nilai kebenaran kalimat berikut ini :

p v (q Λ r )

( p Λ q Λ r ) v ~ (( p v q) Λ ( r v s ))

( ~ ( p Λ q ) v ~ r ) v ((( ~ p Λ q ) v ~ r ) Λ s )

Tentukan apakah pasangan-pasangan kalimat- kalimat di bawah ini ekuivalen :

~ ( ~ p ) dengan p

~ ( p Λ q ) dengan ~ p Λ ~ q

p → q dengan ~ p v q

2.4 Hukum-hukum ekuivalensi logika :

p, q, dan r menyatakan kalimat – kalimat

T dan F menyatakan nilai kebenaran benar dan salah,

maka hukum-hukum yang berlaku :

Hukum komutatif : p Λ q ≡ q Λ p ; p v q ≡ q v p

Hukum assosiatif : ( p Λ q ) Λ r p Λ ( q Λ r )

( p v q ) v r p v ( q v r )

Hukum distributif : p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r)

p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v q)

Hukum Identitas : p Λ T ≡ p ; p v F ≡ p

Hukum Ikatan : p v T ≡ T ; p Λ F ≡ F

Hukum Negasi : p v ~ p ≡ T ; p Λ ~ p ≡ F

Hukum Negasi Ganda : ~ (~ p) ≡ p

Hukum Idempoten : p Λ p ≡ p ; p v p ≡ p

Hukum de Morgan : ~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q

~ (p v q) ≡ ~ p Λ ~ q

10. Hukum Absorbsi : p v (p Λ q) ≡ q

p Λ (p Λ q) ≡ p

11. Negasi T dan F : ~ T ≡ F ; ~ F ≡ T

Dengan hukum-hukum tersebut, kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan.

Dalam membuktikan ekuivalensi P ≡ Q, ada 3 cara yang bisa dilakukan, yaitu :

P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat Q

Q diturunkan terus menerus ( dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat P

P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya sama-sama didapat R

CONTOH SOAL :

Sederhanakan bentuk ~(~p Λ q) Λ (p v q)

Penyelesaiannya :

~(~p Λ q) Λ (p v q) ≡ (~(~p) v ~q) Λ (p v q)

≡ (p v ~q) Λ (p v q)

≡ p v (~q v q)

≡ p v F

≡ p

Jadi ~(~p Λ q) Λ (p v q) ≡ p

Contoh soal ekuivalen :

Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa

menggunakan tabel kebenaran :

~((~p Λ q) v (~p Λ ~q)) v (p Λ q) ≡ p

(p Λ (~(~p v q))) v (p Λ q) ≡ p

Penyelesaian :

~((~p Λ q) v (~p Λ ~q)) v (p Λ q)

≡ ~(~p Λ (q v ~q)) v (p Λ q) (hukum distributif)

≡ ~(~p Λ T) v (p Λ q) (hukum negasi)

≡ ~(~(p) v ~T) v (p Λ q) (hukum de morgan)

≡ ~(~(p) v F) v (p Λ q) (negasi T dan F)

≡ ~(~p) v (p Λ q) (hukum identitas)

≡ p v (p Λ q) (hukum negasi ganda)

≡ p

Untuk menunjukkan ekuivalensi 2 kalimat yang

melibatkan penghubung implikasi (→) dan bi-implikasi

(↔), kita harus terlebih dahulu mengubah penghubung

→ dan ↔ menjadi penghubung Λ, v, dan ~.

Catatan :

Tabel kebenaran untuk ekspresi p → q dengan

~p v q :

Karena untuk tiap-tiap baris, nilai kebenaran pada

kolom p → q dan ~p v q sama, maka disimpulkan

bahwa p → q ≡ ~p v q

Contoh : buktikan ekuivalensi tanpa menggunakan tabel kebenaran dari

(q → p) ≡ (~p → ~q), karena persamaan kanan lebih komplek maka kita turunkan :

~p → ~q ≡ ~(~p) v ~q (transformasi dari → ke v)

≡ p v ~q (hukum negasi ganda)

≡ ~q v p (hukum komutatif)

≡ q → p (transformasi v ke →)

terbukti bahwa ~p → ~q ≡ (q → p) atau

(q → p) ≡ (~p → ~q)

2. Rumus transformasi dari bentuk → ke v dan Λ adalah :

(p → q) ≡ (~p v q)

~(p → q) ≡ p Λ ~q

About these ads

Tinggalkan Jawapan

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Tukar )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Tukar )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Tukar )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Tukar )

Connecting to %s